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Movimiento Parabolico

Movimiento Parabólico


La composición de un movimiento uniforme y otro uniformemente acelerado resulta un movimiento cuya trayectoria es una parábola.

  • Un MRU horizontal de velocidad vx constante.

  • Un MRUA vertical con velocidad inicial voy hacia arriba.

Este movimiento está estudiado desde la antigüedad. Se recoge en los libros más antiguos de balística para aumentar la precisión en el tiro de un proyectil.

Denominamos proyectil a todo cuerpo que una vez lanzado se mueve solo bajo la aceleración de la gravedad.

MOVIMIENTO PARABÓLICO

En este tipo de movimiento, un objeto se mueve en dos direcciones: horizontalmente sin aceleración, y verticalmente por acción de la gravedad, g = –9.8 m/s2 = –32 pies/s2. Las ecuaciones básicas para describir este movimiento son:

Ecuaciones de movimiento vertical (aceleración = g = –9.8 m/s2 = –32 pies/s2):

1) sfy = siy + viyt + 0.5gt2

2) vfy = viy + gt

3) vfy2 = viy2 + 2gs

Ecuaciones de movimiento horizontal (no hay aceleración):

4) sfx = six + vixt

5) vfx = vix

EJEMPLO:

Una bola se lanza desde una altura de 40 pies con velocidad inicial de 5 pies/s formando un ángulo de 30o con la horizontal. Determinar...

a) cuánto tiempo le tomará llegar al suelo.

b) cuál será su rapidez al llegar al suelo.

c) el recorrido horizontal para llegar al suelo.

d) cuáles serán las coordenadas de su punto de máxima altura.

Solución:

Antes que nada calculamos las velocidades iniciales en x y en y:

vix = 5 cos 30 = 4.33

viy = 5 sen 30 = 2.50

a) Luego trabajamos solo verticalmente para calcular el tiempo de llegada al suelo, usando la fórmula 1:

0 = 40 + 4.33t – 0.5(32)t2 Þ t = 1.72 seg (descartando la solución negativa)

b) La rapidez vf al llegar al suelo será la magnitud de la suma vectorial de las velocidades en x y en y.

Utilizamos las fórmulas 5 y 2 junto con el valor calculado de t = 1.72 para encontrar vfx y vfy:

vfy = 2.50 – 32(1.72) = –52.54

vfx = 4.33.

Por lo tanto, vf2 = Ö(4.332 + (–52.54)2) Þ vf = 52.72 pies/s

c) Para calcular cuánto ha viajado la bola horizontalmente para llegar al suelo, utilizamos la fórmula 4 con six = 0:

sfx = 0 + (4.33)(1.72) = 7.45 pies

d) Para calcular las coordenadas del punto de máxima altura, primero calculamos el tiempo que tarda la bola en llegar a este punto. Usamos la fórmula 2 con vfy = 0: 0 = 2.50 – 32t Þ t = 0.08 seg.

Luego calculamos las coordenadas mediantes las fórmulas 1 y 4:

sfx = 0 + 4.33(0.08) = 0.35 pies

sfy = 40 + 2.50(0.08) – 0.5(32)(0.08)2 = 40.10 pies.

EJERCICIOS:

1) Una bola se lanza desde una altura de 100 pies con velocidad inicial de 20 pies/s formando un ángulo de 70o con la horizontal. Determinar...

a) cuánto tiempo le tomará llegar al suelo. 6.79 seg

b) cuál será su rapidez al llegar al suelo.127.96 pies/seg

c) el recorrido horizontal para llegar al suelo.232.22 pies

d) cuáles serán las coordenadas de su punto de máxima altura.100.55 pies en x, 237.97 pies en y

2) Una bola se lanza desde una altura de 35 metros con velocidad inicial de 30 m/s formando un ángulo de 55o con la horizontal. Determinar...

a) cuánto tiempo le tomará llegar al suelo.6.17 seg

b) cuál será su rapidez al llegar al suelo.39.81 m/s

c) el recorrido horizontal para llegar al suelo.106.19 metros

d) cuáles serán las coordenadas de su punto de máxima altura.43.20 metros en x, 65.80 metros en y


Cuando un objeto es lanzado con cierta inclinación respecto a la horizontal y bajo la acción solamente de la fuerza gravitatoria su trayectoria se mantiene en el plano vertical y es parabólica.

Nótese que estamos solamente tratando el caso partícular en que factores como la resistencia del aire, la rotación de la Tierra, etc., no introducen afectaciones apreciables. Vamos a considerar también que durante todo el recorrido la aceleración debido a la gravedad ( g ) permanece constante y que el movimiento es sólo de traslación.

Para facilitar el estudio del movimiento de un proyectil, frecuentemente este se descompone en las direcciones horizontal y vertical. En la dirección horizontal el movimiento del proyectil es rectilíneo y uniforme ya que en esa dirección la acción de la gravedad es nula y consecuente, la aceleración también lo es. En la dirección vertical, sobre el proyectil actúa la fuerza de gravedad que hace que el movimiento sea rectilíneo uniformemente acelerado, con aceleración constante.

Sea un proyectil lanzado desde un cañón. Si elegimos un sistema de referencia de modo que la dirección Y sea vertical y positiva hacia arriba, a y = - g y a x = 0. Además suponga que el instante t = 0, el proyectil deja de origen (X i = Y i = 0) con una velocidad Vi.

Si Vi hace un ángulo qi con la horizontal, a partir de las definiciones de las funciones sen y cos se obtiene:

Vxi = Vi cos θ

Vyi = Vi sen θi

Como el movimiento de proyectiles es bi-dimencional, donde ax = 0 y ay = -g, o sea con aceleración constante, obtenemos las componentes de la velocidad y las coordenadas del proyectil en cualquier instante t, con ayuda de las ecuaciones ya utilizadas para el M.R.U.A. Expresando estas en función de las proyecciones tenemos:

X = Vxit = Vi cos θi t

y = Vyi t + ½ at2

Vyf = Vyi + at

2ay = Vyf2 - Vyi2

Si un proyectil es lanzado horizontalmente desde cierta altura inicial, el movimiento es semi-parabólico.

Las ecuaciones del movimiento considerando Vyi = 0 serían:

X = Vxi t

y = yo - ½ gt2

Recomendamos la realización de la práctica virtual Movimiento bajo la aceleración constante de la gravedad, donde se puede estudiar tanto el movimiento parabólico como el semi-parabólico.

Combinando las ecuaciones arriba explicadas para el movimiento parabólico podemos algunas obtener ecuaciones útiles:

- Altura máxima que alcanza un proyectil:

- Tiempo de vuelo del proyectil:

- Alcance del proyectil :

Atendiendo a esta última ecuación, invitamos al lector a demostrar que para una velocidad dada el máximo alcance se logra con una inclinacion de 45o respecto a la horizontal.

Contenido

Apunte de cinemática: Velocidad, espacio y aceleración. Movimiento rectilíneo uniforme. Movimiento uniformemente acelerado. Movimiento uniformemente retardado. Caída libre. Tiro vertical. Tiro parabólico. Tiro oblículo. Movimiento circular en el plano: horizontal, vertical, péndulo físico.

Cinemática

La cinemática se ocupa de la descripción del movimiento sin tener en cuenta sus causas. La velocidad (la tasa de variación de la posición) se define como la razón entre el espacio recorrido (desde la posición x1 hasta la posición x2) y el tiempo transcurrido.

v = e/t (1)

siendo:

e: el espacio recorrido y

t: el tiempo transcurrido.

Movimiento rectilíneo y uniforme

La ecuación (1) corresponde a un movimiento rectilíneo y uniforme, donde la velocidad permanece constante en toda la trayectoria.

Aceleración

Se define como aceleración a la variación de la velocidad con respecto al tiempo. La aceleración es la tasa de variación de la velocidad, el cambio de la velocidad dividido entre el tiempo en que se produce. Por tanto, la aceleración tiene magnitud, dirección y sentido, y se mide en m/s ², gráficamente se representa con un vector.

a = v/t

Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.)

Existen varios tipos especiales de movimiento fáciles de describir. En primer lugar, aquél en el que la velocidad es constante. En el caso más sencillo, la velocidad podría ser nula, y la posición no cambiaría en el intervalo de tiempo considerado. Si la velocidad es constante, la velocidad media (o promedio) es igual a la velocidad en cualquier instante determinado. Si el tiempo t se mide con un reloj que se pone en marcha con t = 0, la distancia e recorrida a velocidad constante v será igual al producto de la velocidad por el tiempo. En el movimiento rectilíneo uniforme la velocidad es constante y la aceleración es nula.

v = e/t

v = constante

a = 0

Movimiento uniformemente variado (M.U.V.)

Otro tipo especial de movimiento es aquél en el que se mantiene constante la aceleración. Como la velocidad varía, hay que definir la velocidad instantánea, que es la velocidad en un instante determinado. En el caso de una aceleración a constante, considerando una velocidad inicial nula (v = 0 en t = 0), la velocidad instantánea transcurrido el tiempo t será:

v = a.t

La distancia recorrida durante ese tiempo será

e = ½.a.t ²

Esta ecuación muestra una característica importante: la distancia depende del cuadrado del tiempo (t ²). En el movimiento uniformemente variado la velocidad varia y la aceleración es distinta de cero y constante.

a ≠ 0 = constante

v = variable

Movimiento uniformemente variado (M.U.V.)

1) Acelerado: a > 0

xf = xo + vo.t + ½.a.t ² (Ecuación de posición)

vf = vo + a.t (Ecuación de velocidad)

vf ² = vo ² + 2.a.Δx

2) Retardado: a <>

xf = xo + vo.t - ½.a.t ² (Ecuación de posición)

vf = vo - a.t (Ecuación de velocidad)

vf ² = vo ² - 2.a.Δx

3) Caída libre: Un objeto pesado que cae libremente (sin influencia de la fricción del aire) cerca de la superficie de la Tierra experimenta una aceleración constante. En este caso, la aceleración es aproximadamente de 9,8 m/s ². Al final del primer segundo, una pelota habría caído 4,9 m y tendría una velocidad de 9,8 m/s. Al final del siguiente segundo, la pelota habría caído 19,6 m y tendría una velocidad de 19,6 m/s.

En la caída libre el movimiento acelerado donde la aceleración es la de la gravedad y carece de velocidad inicial.

a = g

vo = 0

yf = ½.g.t ² (Ecuación de posición)

vf = g.t (Ecuación de velocidad)

vf ² = 2.a.Δy

4) Tiro vertical: movimiento acelerado donde la aceleración es la de la gravedad y la dirección del movimiento, puede ser ascendente o descendente.

a = g

vo ≠ 0

yf = yo + vo.t - ½.g.t ² (Ecuación de posición)

vf = vo - g.t (Ecuación de velocidad)

vf ² = vo ² - 2.a.Δy

5) Tiro parabólico: Otro tipo de movimiento sencillo que se observa frecuentemente es el de una pelota que se lanza al aire formando un ángulo con la horizontal. Debido a la gravedad, la pelota experimenta una aceleración constante dirigida hacia abajo que primero reduce la velocidad vertical hacia arriba que tenía al principio y después aumenta su velocidad hacia abajo mientras cae hacia el suelo. Entretanto, la componente horizontal de la velocidad inicial permanece constante (si se prescinde de la resistencia del aire), lo que hace que la pelota se desplace a velocidad constante en dirección horizontal hasta que alcanza el suelo. Las componentes vertical y horizontal del movimiento son independientes, y se pueden analizar por separado. La trayectoria de la pelota resulta ser una parábola.

Es un movimiento cuya velocidad inicial tiene componentes en los ejes x e y, en el eje y se comporta como tiro vertical, mientras que en el eje x como M.R.U.

En eje x:

v = constante

a = 0

En eje y:

a = g

vo ≠ 0

6) Tiro oblicuo: movimiento cuya velocidad inicial tiene componente en los eje x e y, en el eje y se comporta como caída libre, mientras que en el eje x como M.R.U.

En eje x:

v = constante

a = 0

En eje y:

a = g

vo = 0

Movimiento circular en el plano

El movimiento circular es otro tipo de movimiento sencillo. Si un objeto se mueve con celeridad constante pero la aceleración forma siempre un ángulo recto con su velocidad, se desplazará en un círculo. La aceleración está dirigida hacia el centro del círculo y se denomina aceleración normal o centrípeta. En el caso de un objeto que se desplaza a velocidad v en un círculo de radio r, la aceleración centrípeta es:

a = v ²/r.

En este movimiento, tanto la aceleración como la velocidad tienen componentes en x e y.

movimiento circular

1) Horizontal:

s = R. θ s: arco de circunferencia recorrido

θ: ángulo desplazado

v = R.ω ω: velocidad angular

aT = R. α aT: aceleración tangencial

α : aceleración angular

aN = v ²/R aN: aceleración normal o centrípeta

aN = R. ω ²

Sí v = constante Þ aT = 0

2) Vertical: este movimiento no es uniforme ya que la velocidad del cuerpo aumenta cuando desciende y disminuye cuando asciende. Para este modelo el cuerpo está sujeto por una cuerda, entonces, las fuerzas que actúan son el peso del cuerpo y la tensión de la cuerda, que componen una fuerza resultante.

FT = m.g.sen θ

FN = T - m.g.cos θ

T = m.(v ²/R + g.cos θ)

Siendo en el punto más bajo

T = m.(v ²/R + g)

Siendo en el punto más alto

T = m.(v ²/R - g)

En el punto mas alto la velocidad es crítica, por debajo de ésta la cuerda deja de estar tensa.

vc ² = R.g

3) Péndulo físico:

Péndulo físico

FT = m.g.sen θ

FN = T - m.g.cos θ

Amplitud:

s = R. θ

La velocidad es variable, anulándose en cada extremo del arco de circunferencia (amplitud).

T = m.g.cos θ

En el punto más bajo:

θ = 0

FT = 0

FN = T - P

El período τ es el tiempo en que se efectúa una oscilación completa.

τ = 2.π.√R/g

La frecuencia f es la relación entre el número de revoluciones y el tiempo de observación.

f = 1/ τ

Contenido

Ejercicios resueltos de Cinemática: Movimiento uniformemente variado. Interpretación gráfica.

Resolver y responder:


Problema n° 1) La representación gráfica, corresponde al movimiento de un auto, ¿corresponde a una situación real?, justifique.

Cinemática

No, no se existe el tiempo negativo y la gráfica no representa una función.

Problema n° 2) En la figura se indica la posición de un móvil en función del tiempo, hallar la velocidad media durante los intervalos de tiempo a, b, c y d indicados.

Cinemática

Para calcular la velocidad media aplicamos:

Δ va = Δ xa/Δ ta
Δ va = (x af - xa0)/(t af - ta0)
Δ va = (6 m - 3 m)/(3 s - 0 s)
Δ va = 1 m/s

Δ vb = Δ xb/Δ tb
Δ vb = (x bf - xb0)/(t bf - tb0)
Δ vb = (2 m - 6 m)/(7 s - 3 s)
Δ vb = -1 m/s

Δ vc = Δ xc/Δ tc
Δ vc = (x cf - xc0)/(t cf - tc0)
Δ vc = (-8 m - 2 m)/(9 s - 7 s)
Δ vc = -5 m/s

Δ vd = Δ xd/Δ td
Δ vd = (x df - xd0)/(t df - td0)
Δ vd = (-8 m - (-8 m))/(15 s - 9 s)
Δ vd = 0 m/s

Problema n° 3) Hallar las pendientes de las tres rectas, expresándolas en las unidades correspondientes, luego analice si es correcto graficar a la izquierda del eje verical.

Cinemática

Δv1 = Δx1/Δt1
Δv1 = (x1f - x10)/(t1f - t10)
Δv1 = (40 km - 0 km)/(1 h - 0 h)
Δv1 = 40 km/h

Δv2 = Δx2/Δt2
Δv2 = (x2f - x20)/(t2f - t20)
Δv2 = (10 km - 2 km)/(4 s - 0 s)
Δv2 = 2 km/s

Δv3 = Δx3/Δt3
Δv3 = (x3f - x30)/(t3f - t30)
Δv3 = (0 m - 12 m)/(8 s - 0 s)
Δv3 = -1,5 m/s

No se puede graficar a la izquierda del eje vertical, no existe el tiempo negativo.

Problema n° 4) ¿Qué significa en un MUR que la velocidad sea negativa?

Que el móvil se mueve en sentido contrario.

Contenido

Apunte de cinemática: Vectores, posición, desplazamiento, velocidad media, velocidad instantánea, aceleración media, aceleración instantánea. Aceleración tangencial y normal. Formulas, cuestionario y problemas.

Cinemática

Actividades iniciales

1. ¿Por qué la masa es una magnitud escalar y el peso es vectorial ?

2. La aceleración de un móvil es un vector y como tal se puede descomponer en componentes. Si se elige un sistema de referencia con el origen centrado en el móvil, un eje tangente a la trayectoria y el otro perpendicular a la misma,¿qué significado físico tienen las componentes de la aceleración referidas a ese sistema de referencia?

3. Comenta la frase pronunciada por un automovilista imprudente después de estar a punto de salirse de la carretera: "¡la curva era tan cerrada que la fuerza centrífuga me ha sacado de la carretera!".

1.- Cinemática
1.1.- Vector de posición (r)

Para describir el movimiento de una partícula,respecto de un sistema de referencia, tenemos que conocer, en cada instante, la posición del móvil, su velocidad y la aceleración con la que está animado.

Elegido un sistema de referencia, la posición del móvil queda determinada por el vector de posición:

vector de posición

r(t) = x(t).i + y(t).j + z(t).k(1)

El extremo del vector de posición describe, a lo largo del tiempo, una línea que recibe el nombre de trayectoria. Esta curva se puede obtener eliminando el tiempo en las ecuaciones paramétricas.

Se denomina vector desplazamiento Δr entre los instantes t0 y t1 a:

vector desplazamiento

Δr = Δx.i + Δy.j + Δz.k(2)

1.2.- Velocidad (v)

Se denomina vector velocidad media (vm) al desplazamiento que experimenta un móvil en la unidad de tiempo:

vector velocidad media

Cinemática

Y se llama celeridad media a la longitud de trayectoria recorrida en la unidad de tiempo.

celeridad media = v = Δs = distancia recorrida
Δt tiempo empleado

Si la trayectoria es una línea recta y no hay cambios de sentido, el módulo del vector velocidad media coincide con la rapidez.

Velocidad instantánea (v) es la velocidad que posee una partícula en un instante determinado. Es un vector tangente a la trayectoria y de sentido el del movimiento.

vector velocidad instantánea

Cinemática

El valor numérico de la velocidad instantánea es el módulo de la velocidad y se denomina rapidez o celeridad :

Cinemática

1.3.- Aceleración (a)

Se denomina vector aceleración media, am, a la variación que experimenta la velocidad instantánea en la unidad de tiempo.

vector aceleración media

Cinemática

Aceleración instantánea a es la aceleración que posee la partícula en un instante determinado (en cualquier punto de su trayectoria). Su dirección y sentido coincide con el del cambio de la velocidad.

vector aceleración instantánea

Cinemática

El valor numérico de la aceleración instantánea es el módulo del vector aceleración :

Cinemática

Componentes intrínsecas de la aceleración

Si elegimos como sistema de referencia uno con origen la posición de la partícula, en cada instante, con un eje tangente a la trayectoria y el otro perpendicular a la misma, la aceleración tiene dos componentes:

a = at + an

Aceleración tangencial: es un vector tangente a la trayectoria y su módulo representa la variación del módulo de la velocidad en un instante.

at = |at| = dv/dt

Aceleración normal: es un vector perpendicular a la trayectoria y sentido hacia el centro de curvatura. Su módulo representa la variación de la dirección del vector velocidad en un instante.

an = |an| = v ²/R

donde R es el radio de curvatura de la trayectoria.

Por tanto, podemos escribir:

Cinemática

donde Ut y Un son dos vectores unitarios en la dirección tangente y normal a la trayectoria.

CUESTIONES

C1.- Indica que afirmaciones son correctas. Movimiento es:

a) un cambio de lugar

b) un cambio de lugar si el cuerpo que se mueve es un punto material

c) un desplazamiento

d) un cambio de posición

C2.- Un ciclista se desplaza en línea recta 750 m. Si su posición final está a 1250 m del punto de referencia, el ciclista inició su recorrido desde una posición de:

a) 750 m

b) 1250 m

c) No se puede hallar

d) 500 m

C3.- Un coche pasa de 90 km/h a 126 km/h en 8 segundos. La aceleración media del coche ha sido:

a) 4.5 m/s ²

b) 2.25 m/s ²

c) 1.25 m/s ²

d) 1.5 m/s ²

C4.- Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 1.8 m/s ² . Después de estar 20 segundos de estar acelerando, la distancia recorrida por el coche es:

a) 360 m

b) 720 m

c) 18 m

d) 36 m

C5.- Un automóvil toma una curva de 100 m de radio con velocidad constante de 36 km/h. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?:

a) el coche no tiene aceleración porque su velocidad es constante

b) el coche tiene aceleración porque su velocidad varía

c) el coche tiene aceleración tangencial

d) la aceleración del coche vale 1 m/s ²

C6.- Las coordenadas del extremo del vector de posición de una partícula móvil son P(2, -1) en un instante dado. Si el punto de referencia se encuentra en el origen de coordenadas:

a) en ese instante el punto se encuentra en el plano xy

b) el vector de posición es r = 2.i - j

c) el vector de posición es r = i + 2.j

d) no se puede definir este punto con un vector

¿Qué afirmaciones son correctas?

C7.- El vector de posición de una partícula móvil es r = (t + 2).i + t ².j

¿Qué desplazamiento ha experimentado la partícula en el intervalo de tiempo de 2 a 4 s?

C8.- El vector de posición de una partícula es r = (4.t ² - 1).i + (t ² + 3).j (en unidades del S.I.) :

a) Deduce las expresiones de los vectores velocidad y aceleración.

b) Calcula la velocidad y aceleración en el instante 1 s.

C9.- El vector de posición de un punto móvil es r = (2.t + 5.t ²).i.

a) el punto se mueve en el plano xy

b) el punto se mueve sobre el eje x

c) el punto se mueve sobre una recta paralela al eje x

d) el movimiento es rectilíneo uniforme

e) la ecuación dada es equivalente a la ecuación x = 2t + 5t ²

Señala las afirmaciones correctas.

CINEMATICA: movimientos sencillos (tratamiento escalar)

SEMEJANZA ENTRE ECUACIONES MOVIMIENTO RECTILINEO Y CIRCULAR

MRUA

(1) s = s0 + v0.t + a.t ²/2

(2) v = v0 + a.t

(3) v ² - v0 ² = 2.a.(s - s0)

MCUA

(1) φ = φ0 + v0.t + α.t ²/2

(2) ω = ω0 + α.t

(3) ω ² - ω0 ² = 2.α.(φ - φ0)

Relación entre magnitudes angulares y lineales:
s = φ.R v = ω.R
at = α.R an = v ²/R = ω ².R

CASO PARTICULAR: CUANDO EL MOVIMIENTO ES UNIFORME

s = s0 + v.t φ = φ 0 + ω .t
consideraciones: ω = 2.π.f

T = 1/f

LANZAMIENTO HORIZONTAL (g = - 9.8 m/s ²)

eje x: x = v0.t
eje y: y = y0 + g.t ²/2
vector de posición:

r = (v0.t).i + (y0 + g.t ²/2).j

ecuación de la trayectoria:
componentes de la velocidad:

vx = v0

vy = g.t
Cinemática

ángulo formado con el eje horizontal:

α = arctg (g.t/v0)

alcance:
Cinemática

TIRO PARABOLICO (g = - 9.8 m/s ²)

eje x: x = v0.cos α.t
eje y: y = v0.sen α.t + g.t ²/2
vector de posición:

r = (v0.cos α.t).i + (v0.sen α.t + g.t ²/2).j

ecuación de la trayectoria:
Cinemática
componentes de la velocidad:

vx = v0.cos α

vy = v0.sen α + g.t

Cinemática

ángulo formado con el eje horizontal:

α = arctg (vy/vx)

altura máxima alcanzada:

y máxima = -v0 ².sen ² α/2.g

alcance:

x = -v0 ².sen 2.α/g

MOVIMIENTO RECTILINEO

CUESTIONES

C1.- ¿Cómo definirías la trayectoria de un móvil?

C2.- ¿Qué es lo que mide la aceleración?

C3.- ¿Qué diferencias hay entre la velocidad media y la velocidad instantánea?

C4.- Si el cuentakilómetros de un coche marca una velocidad máxima de 240 km/h, ¿puedes concluir con este dato que el coche tiene una alta aceleración?. Razona la respuesta.

C5.- ¿Qué aceleración es mayor, la de un leopardo que pasa de su posición de reposo a una velocidad de 30 m/s en 9 segundos, o la de un coche que tarda 8 segundos en alcanzar los 100 km/h?

PROBLEMAS

P1.- Un caracol se desplaza a la escalofriante velocidad de 5 mm cada segundo sin altibajos (no acelera ni descansa para "tomar una hojita de lechuga").

¿Sabrías calcular la distancia recorrida por el bicho en media hora? ¿cuál será su velocidad media? ¿y su velocidad instantánea?

P2.- Representar las gráficas espacio-tiempo y velocidad-tiempo para un Seat 600 (eso sí, rectificado) que se desplaza en tres tramos:

a) Durante 3 h recorre 210 Km con MRU

b) Durante 1 h hace una parada para comer

c) Recorre 100 Km con MRU a la velocidad de 20 m/s

P3.- Dos ciclistas, separados por una distancia recta de 500 m, salen al mismo tiempo en sentidos contrarios, uno al encuentro del otro, con velocidades constantes de 12 (m/s) y 8 (m/s) respectivamente:

a) Calcular el punto en que se encuentran

b) Hallar el tiempo que tardan en chocar

c) Representar en la misma gráfica el diagrama posición-tiempo de los dos movimientos.

(Hay que considerar correctamente un punto de referencia; con respecto a este punto hay que tener en cuenta el signo positivo o negativo de la velocidad en cada caso).

Resultado

a) a 300 m del punto del más rápido

b) 25 s

P4.- La representación gráfica del movimiento de un cuerpo es la que aparece en la figura. Contesta las siguientes cuestiones:

Representación gráfica del movimiento de un cuerpo

a) ¿Qué tipo de movimiento ha tenido en cada tramo?. Razona la respuesta.

b) ¿Cuál ha sido la velocidad en cada tramo?

c) ¿Qué distancia ha recorrido al cabo de los 10 segundos?.

d) ¿Cuál ha sido el desplazamiento del móvil?

P5.- La representación gráfica del movimiento de un cuerpo viene dada por la figura. Responde las siguientes preguntas:

Cinemática

a) ¿Qué tipo de movimientos ha realizado el móvil que estudiamos?

b) ¿Cuál ha sido la aceleración en cada tramo?

c) ¿Qué distancia ha recorrido el móvil al final de su viaje?

P6.- Dejamos caer una pelota desde nuestra terraza. Sabiendo que la altura al suelo es de 15 m, calcula:

a) ¿Con qué velocidad llegará al suelo?

b) ¿Cuánto tiempo tardará en efectuar el recorrido?

c) Suponiendo que no existiera ningún tipo de rozamiento, ¿hasta qué altura volvería a subir?

d) ¿Cómo sería la representación gráfica de la posición frente al tiempo y de la velocidad frente al tiempo a lo largo de toda la trayectoria?

e) Dibuja la gráfica de la aceleración frente al tiempo en todo el movimiento.

P7. Un caza F-18, partiendo del reposo, acelera a razón de 10 (m/s ²) mientras recorre la pista de despegue y empieza a ascender cuando su velocidad es de 360 Km/h.

a) ¿Cuántos metros de pista ha recorrido?

b) ¿Qué tiempo ha empleado?

Resultado

a) 500 m

b) 10 s.

P8.- Un tren reduce su velocidad desde 15 (m/s) hasta 7 (m/s), con una aceleración constante, recorriendo entretanto una distancia de 90 m. Calcular:

a) la aceleración con que frena,

b) la distancia que recorrerá hasta detenerse, si mantiene constante la aceleración adquirida.

Resultado

a) -0.98 (m/s ²)

b) 25 m.

P9.- Un automóvil se desplaza a 45 (km/h) y disminuye uniformemente su velocidad hasta 15 (km/h) en 10 s. Calcular:

a) la aceleración,

b) la distancia recorrida en los 10 s,

c) el tiempo que tardará en detenerse, si continúa con la misma aceleración,

d) la distancia que recorre hasta detenerse,contando desde que se movía a 15 Km/h

Resultado

a) -0.83 (m/s ²)

b) 83.5 m

c) 5s d) 10.6 m

P10.- Desde lo alto de un edificio se deja caer una piedra y se observa que tarda 4s en llegar al suelo. Determinar:

a) la altura del edificio,

b) la velocidad con que llega al suelo.

Resultado

a) 78,4 m

b) 39,2 (m/s)

P11.- Se lanza verticalmente hacia abajo desde cierta altura una piedra, con la velocidad inicial de 6 m/s y tarda 2 s en llegar al suelo. Calcular:

a) La altura desde la cual fue lanzada.

b) La velocidad con que llega al suelo,

c) El espacio que recorrerá al cabo de uno y dos segundos.

Resultado

a) 31.6m

b) 25.6 (m/s)

c) 10.9 m y 20.7 m

P12.- Un tanque dispara verticalmente hacia arriba (suponiendo que pueda hacerlo) un proyectil con velocidad inicial de 500 (m/s). Determinar:

a) la altura máxima que alcanzará,

b) el tiempo que empleará en ello,

c) la velocidad que tiene a los 10 s,

d) la posición en que se encontrará cuando su velocidad sea de 300 (m/s).

Resultado

a) 12 755 m

b) 51 s

c) 402 (m/s)

d) 8163.3 m

P13.- Desde el borde de un pozo se deja caer una piedra. Si el sonido del choque de la piedra con el fondo se oye 5 segundos después de haberla dejado caer y la velocidad del sonido es de 340 m/s, calcula la altura del pozo.

Resultado

¡¡ánimo valiente!!

(pista: hay que considerar dos tramos con diferente movimiento)

(otra pista: un tramo podría ser el de bajada hasta chapotear; el otro el del sonido en subir)

(y ya no hay más pistas)

MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES
MOVIMIENTO CIRCULAR

P14.- Un ciclista parte del reposo en un velódromo circular de 50 m de radio y va moviéndose con movimiento uniformemente acelerado, hasta que, a los 50 s de iniciada su marcha, alcanza una velocidad de 36 km/h; desde este momento conserva su velocidad. Calcula:

a) la aceleración tangencial y la aceleración angular en la primera etapa del movimiento

b) la aceleración normal y la aceleración total en el momento de cumplirse los 50 s.

c) la longitud de pista recorrida en los 50 s.

d) la velocidad tangencial media y la velocidad angular media en la primera etapa del movimiento.

e) el tiempo que tarda en dar una vuelta a la pista, con velocidad constante.

f) el número de vueltas que da en 10 minutos, contados desde que inició el movimiento.

Resultado

a) at = 0.2 m/s ² α = 0.004 rad/s ²

b) an = 2 m/s ² a = 2.01 m/s ²

c) Δs = 250 m

d) vm = 5 m/s ω m = 0.1 rad/s

e) t = 31.4 s f)

18.31 vueltas

P15.- Un punto material describe una circunferencia de 2 m de radio con aceleración constante. En el punto A la velocidad es de 0.5 m/s y transcurridos dos segundos la velocidad en b es 0.75 m/s. Calcula la aceleración tangencial, normal y total en el punto A.

Resultado

at = 0.125 m/s ²

an = 0.125 m/s ²

a = 0.18 m/s ²

P16.- Un móvil describe una trayectoria circular de 1 m de radio 30 veces por minuto (movimiento circular uniforme). Calcula:

a) el período

b) la frecuencia

c) la velocidad angular

d) la velocidad tangencial y la aceleración centrípeta de ese movimiento

Resultado

a) T = 2 s/vuelta

b) f = 0.5 vueltas/s

c) ω = 3.14 rad/s

d) v = 3.14 m/s an = 9.8 m/s ²

LANZAMIENTO HORIZONTAL

P17.- Desde un acantilado de 40 metros de altura se lanza horizontalmente un cuerpo con una velocidad de 20 m/s. Calcula:

a) ¿Dónde se encuentra el cuerpo 2 segundos después?

b) ¿Qué velocidad tiene en ese instante?

c) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a la superficie?

d) ¿Con qué velocidad llega al agua?

e) ¿Qué distancia horizontal máxima recorre?

f) Ecuación cartesiana de la trayectoria

Resultado

a) x = 40 m y = 20.4 m

b) v = 28 m/s α = -44.42°

c) t = 2.85 s

d) v = 34.35 m/s α = -54.39°

e) x = 57 m

f) y = 40 - 4.9 (x/20) ²

P18.- Un avión vuela a 800 m de altura y deja caer una bomba 1000 m antes de sobrevolar el objetivo, haciendo blanco en él. ¿Qué velocidad tiene el avión?

Resultado

v0 = 78.26 m/s = 282 km/h

P19.- Pepe y Blas, pilotos de la RAF, se encuentran a 2000 m de altura pilotando su bombardero a 650 km/h. A una distancia de 16 km (medida en el eje horizontal) se ve una nube de polvo producida por un camión (se supone que es el enemigo, aunque los del camión no dirían lo mismo). El avión está muy preparado y detecta que la velocidad del camión es de 120 km/h.

a) ¿A qué distancia del camión (medida en el eje x) y sin bajar, para que no oigan el ruido de los motores los ocupantes del camión, debe soltar la bomba para dar en el blanco?

b) ¿Qué tiempo transcurre desde que ven al camión hasta que hacen "diana" ?

c) ¿A qué distancia del camión tiene que soltar la bomba para hacer blanco?

Nota: Pepe y Blas eran "buenos muchachos", pero ahora cumplen órdenes.

TIRO PARABOLICO

P20.- Manolo pretende encestar una canasta de tres puntos. Para ello lanza la pelota desde una distancia de 6.5 m y a una altura de 1.9 m del suelo. Si la canasta está situada a una altura de 2.5 m, ¿con qué velocidad debe realizar el tiro si lo hace con un ángulo de elevación de 30° ?

Resultado

v0 = 9.34 m/s

P21.- Un bombero desea apagar el fuego en un edificio. Para ello deberá introducir agua por una ventana situada a 10 m de altura. Si sujeta la manguera a 1 metro del suelo, apuntándola bajo un ángulo de 60° hacia la fachada (que dista 15 m), ¿con qué velocidad debe salir el agua?

Resultado

v0 = 16 m/s

P22.- Un cañón dispara un proyectil con una velocidad de 400 m/s y un ángulo de elevación de 30°. Determina:

a) La posición y la velocidad del proyectil a los 5 segundos

b) ¿En qué instante el proyectil alcanza el punto más alto de la trayectoria?. Halla la altitud de ese punto.

c) ¿En qué instante el proyectil se encuentra a 1000 m de altura y qué velocidad tiene en ese instante?

d) El alcance del proyectil

e) ¿Con qué velocidad llega a la horizontal del punto de lanzamiento?

f) La ecuación cartesiana de la trayectoria que sigue el proyectil.

Nota: tomar g = 10 m/s ²

Resultado

a) x = 1732 m y = 875 m v = 377 m/s α = 23.4°

b) t = 20 s y = 2000 m

c) t1 = 5.86 s t2 = 34.14 s para t1, v = 374 m/s

d) α = 22.2°

e) v = 400 m/s α = -30°

f) y = tg 30 . x - 5 . (x/346) ²

P23.- Desde el borde de un acantilado de 85 m se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 150 m/s y un ángulo de elevación de 30°. Calcula:

a) la distancia horizontal desde el cañón al punto donde el proyectil pega en el suelo

b) la máxima elevación que alcanza el proyectil respecto del suelo

Resultado

a) alcance = 2125 m

b) altura máxima = 372 m